The magic of Fibonacci numbers | Arthur Benjamin
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[1] 00:12So why do we learn mathematics?
Tradutor: Antonio Filho Revisora: Marta Jorge
[2] 00:15Essentially, for three reasons:
Por que é que aprendemos matemática?
[3] 00:18calculation,
Essencialmente, por três razões:
[5] 00:21and last, and unfortunately least
aplicação,
[6] 00:24in terms of the time we give it,
e por último, e infelizmente a menor
[7] 00:26inspiration.
em termos de quanto tempo nos dedicamos a ela,
[8] 00:28Mathematics is the science of patterns,
inspiração.
[9] 00:30and we study it to learn how to think logically,
A matemática é a ciência dos padrões
[10] 00:34critically and creatively,
e nós estudamo-la para aprendermos a pensar
[11] 00:36but too much of the mathematics that we learn in school
lógica, crítica e criativamente,
[12] 00:39is not effectively motivated,
mas muito da matemática que aprendemos na escola
[13] 00:41and when our students ask,
não é efetivamente motivante,
[14] 00:43"Why are we learning this?"
e quando nossos estudantes perguntam:
[15] 00:44then they often hear that they'll need it
"Por que é que aprendemos isto?"
[17] 00:50But wouldn't it be great
na próxima aula de matemática ou num teste futuro.
[18] 00:51if every once in a while we did mathematics
Mas não seria ótimo
[19] 00:54simply because it was fun or beautiful
que, de vez enquanto, praticássemos a matemática
[20] 00:57or because it excited the mind?
simplesmente por ser divertida ou bela
[21] 00:59Now, I know many people have not
ou por excitar a nossa mente?
[22] 01:01had the opportunity to see how this can happen,
Agora, eu sei que muitas pessoas não
[24] 01:05with my favorite collection of numbers,
então deixem-me dar-vos um exemplo rápido
[25] 01:07the Fibonacci numbers. (Applause)
usando a minha coleção preferida de números,
[26] 01:10Yeah! I already have Fibonacci fans here.
a sequência Fibonacci. (Aplausos)
[27] 01:12That's great.
Sim! Eu já aqui tenho fãs de Fibonacci.
[28] 01:13Now these numbers can be appreciated
Isso é ótimo.
[29] 01:15in many different ways.
Estes números podem ser apreciados
[30] 01:17From the standpoint of calculation,
de várias maneiras.
[31] 01:20they're as easy to understand
Pela ótica do cálculo,
[32] 01:22as one plus one, which is two.
eles são tão fáceis de entender
[33] 01:24Then one plus two is three,
como 1 + 1, que é igual a 2.
[34] 01:26two plus three is five, three plus five is eight,
Logo, 1 + 2 é igual a 3,
[35] 01:29and so on.
2 + 3 é igual a 5, 3 + 5 são 8,
[36] 01:31Indeed, the person we call Fibonacci
e por aí adiante.
[37] 01:33was actually named Leonardo of Pisa,
De facto, a pessoa a quem chamamos de Fibonacci
[39] 01:39which taught the Western world
e estes números aparecem no seu livro "Liber Abaci"
[40] 01:41the methods of arithmetic that we use today.
que ensinou ao mundo ocidental
[41] 01:44In terms of applications,
os métodos aritméticos que usamos hoje em dia.
[42] 01:45Fibonacci numbers appear in nature
Em termos de aplicações,
[43] 01:48surprisingly often.
a sequência Fibonacci aparece na Natureza
[44] 01:49The number of petals on a flower
com uma surpreendente frequência.
[45] 01:51is typically a Fibonacci number,
O número de pétalas de uma rosa
[46] 01:53or the number of spirals on a sunflower
é uma típica sequência Fibonacci,
[47] 01:56or a pineapple
ou o número de espirais num girassol
[48] 01:57tends to be a Fibonacci number as well.
ou num ananás
[51] 02:06are the beautiful number patterns they display.
mas o que eu acho mais inspirador nelas
[52] 02:08Let me show you one of my favorites.
é o belo padrão numérico que ela apresentam.
[53] 02:11Suppose you like to square numbers,
Vou mostrar-vos um dos meus preferidos.
[54] 02:13and frankly, who doesn't? (Laughter)
Suponhamos que gostam de elevar números ao quadrado,
[55] 02:16Let's look at the squares
e francamente, quem não gosta? (Risos)
[56] 02:18of the first few Fibonacci numbers.
Vamos olhar para os quadrados
[57] 02:20So one squared is one,
dos primeiros números da sequência Fibonacci.
[58] 02:22two squared is four, three squared is nine,
Logo, 1² é 1,
[59] 02:24five squared is 25, and so on.
2² são 4, 3² são 9
[60] 02:27Now, it's no surprise
5² são 25, e por aí adiante.
[61] 02:29that when you add consecutive Fibonacci numbers,
Bem, não é surpresa
[63] 02:34That's how they're created.
obtemos o número seguinte da sequência. Certo?
[64] 02:35But you wouldn't expect anything special
Foi assim que eles foram criados.
[65] 02:37to happen when you add the squares together.
Mas vocês não esperam que aconteça
[66] 02:40But check this out.
nada de especial quando somam os seus quadrados.
[67] 02:42One plus one gives us two,
Mas vejam isto.
[68] 02:44and one plus four gives us five.
1 + 1 é igual a 2,
[69] 02:46And four plus nine is 13,
e 1 + 4 dá-nos 5.
[70] 02:48nine plus 25 is 34,
E 4 + 9 são 13,
[71] 02:52and yes, the pattern continues.
9 + 25 são 34,
[72] 02:54In fact, here's another one.
e sim, o padrão continua.
[73] 02:56Suppose you wanted to look at
Na verdade, aqui está outro.
[74] 02:58adding the squares of the first few Fibonacci numbers.
Suponham que queriam olhar para
[76] 03:02So one plus one plus four is six.
Vejamos o que acontece.
[77] 03:04Add nine to that, we get 15.
Logo, 1 + 1 + 4 são 6.
[78] 03:07Add 25, we get 40.
Somem 9 a esse resultado e teremos 15.
[79] 03:09Add 64, we get 104.
Somem 25 e teremos 40.
[80] 03:12Now look at those numbers.
Somem 64 e teremos 104.
[81] 03:14Those are not Fibonacci numbers,
Agora olhem para estes números.
[82] 03:16but if you look at them closely,
Estes não são números de Fibonacci,
[83] 03:18you'll see the Fibonacci numbers
mas se vocês olharem para eles mais atentamente,
[84] 03:20buried inside of them.
verão a sequência Fibonacci
[85] 03:22Do you see it? I'll show it to you.
enterrada dentro deles
[86] 03:24Six is two times three, 15 is three times five,
Conseguem ver? Vou mostrar-vos.
[87] 03:2840 is five times eight,
6 é 2 x 3, 15 é 3 x 5,
[88] 03:30two, three, five, eight, who do we appreciate?
40 é 5 x 8,
[89] 03:33(Laughter)
2, 3, 5, 8, de que é que estamos a falar?
[90] 03:34Fibonacci! Of course.
(Risos)
[91] 03:36Now, as much fun as it is to discover these patterns,
Fibonacci! É claro.
[93] 03:42why they are true.
é ainda mais gratificante entender
[94] 03:44Let's look at that last equation.
por que é que eles são verdadeiros.
[96] 03:50add up to eight times 13?
Por que é que os quadrados de 1, 1, 2, 3, 5, e 8
[97] 03:53I'll show you by drawing a simple picture.
somados, resultam em 8 x 13?
[98] 03:56We'll start with a one-by-one square
Vou mostrar-vos através de um simples desenho.
[99] 03:58and next to that put another one-by-one square.
Começamos com um quadrado de 1 x 1
[100] 04:02Together, they form a one-by-two rectangle.
em seguida colocamos outro quadrado de 1 x 1.
[101] 04:06Beneath that, I'll put a two-by-two square,
Juntos, eles formam um retângulo de 1 x 2.
[102] 04:08and next to that, a three-by-three square,
Por baixo, vou colocar um quadrado de 2 x 2,
[103] 04:11beneath that, a five-by-five square,
e ao lado dele, um quadrado de 3 x 3,
[104] 04:13and then an eight-by-eight square,
por baixo, um quadrado de 5 x 5,
[105] 04:15creating one giant rectangle, right?
e então um quadrado de 8 x 8,
[106] 04:18Now let me ask you a simple question:
criando um retângulo gigante, certo?
[107] 04:20what is the area of the rectangle?
Agora, deixem-me fazer-vos uma pergunta simples:
[108] 04:23Well, on the one hand,
qual é a área do retângulo?
[109] 04:25it's the sum of the areas
Bem, por um lado,
[110] 04:28of the squares inside it, right?
é a soma das áreas
[111] 04:30Just as we created it.
dos quadrados dentro dele, certo?
[112] 04:31It's one squared plus one squared
Exatamente como o construímos.
[113] 04:33plus two squared plus three squared
É o quadrado de 1, mais o quadrado de 1,
[114] 04:35plus five squared plus eight squared. Right?
mais o quadrado de 2, mais o quadrado de 3,
[115] 04:38That's the area.
mais o quadrado de 5 , mais o quadrado de 8. Certo?
[116] 04:40On the other hand, because it's a rectangle,
Esta é a área.
[117] 04:42the area is equal to its height times its base,
Por outro lado, por ser um retângulo,
[118] 04:46and the height is clearly eight,
a área é igual à altura vezes a base,
[119] 04:48and the base is five plus eight,
e a altura é claramente 8,
[120] 04:51which is the next Fibonacci number, 13. Right?
e a base é 5 + 8,
[122] 04:58Since we've correctly calculated the area
Logo a área é também, 8 x 13.
[123] 05:00two different ways,
Já que calculámos corretamente a área
[124] 05:02they have to be the same number,
de duas formas diferentes,
[126] 05:08add up to eight times 13.
é o por isso que os quadrados de 1, 1, 2, 3, 5, e 8
[127] 05:10Now, if we continue this process,
somados, resultam em 8 x 13.
[128] 05:12we'll generate rectangles of the form 13 by 21,
Então, se continuarmos este processo,
[129] 05:1621 by 34, and so on.
criaremos retângulos de 13 x 21,
[130] 05:19Now check this out.
21 x 34, e por aí adiante.
[131] 05:20If you divide 13 by eight,
Agora, vejam só.
[132] 05:22you get 1.625.
Se vocês dividirem 13 por 8,
[133] 05:24And if you divide the larger number by the smaller number,
obterão 1,625.
[135] 05:31to about 1.618,
então essas proporções vão ficando cada vez mais próximas
[136] 05:33known to many people as the Golden Ratio,
de cerca de 1,618.
[138] 05:39scientists and artists for centuries.
um número que tem fascinado matemáticos,
[139] 05:42Now, I show all this to you because,
cientistas e artistas durante séculos.
[140] 05:45like so much of mathematics,
Agora, eu mostrei-vos tudo isto porque,
[141] 05:47there's a beautiful side to it
como muitas coisas na matemática,
[142] 05:49that I fear does not get enough attention
há um lado belo nisso
[143] 05:51in our schools.
que eu receio que não desperte muita atenção
[144] 05:52We spend lots of time learning about calculation,
nas escolas.
[145] 05:55but let's not forget about application,
Gastamos muito tempo a aprender sobre o cálculo,
[147] 06:01learning how to think.
incluindo, talvez, a mais importante aplicação de todas,
[148] 06:03If I could summarize this in one sentence,
aprender a pensar.
[149] 06:05it would be this:
Se eu pudesse resumir tudo isto numa frase apenas,
[150] 06:07Mathematics is not just solving for x,
seria esta:
[151] 06:10it's also figuring out why.
A matemática não é apenas a solução para x,
[152] 06:13Thank you very much.
é também descobrir o porquê.
[153] 06:15(Applause)
Muito obrigado.