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The magic of Fibonacci numbers | Arthur Benjamin

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00:00...
...

[1] 00:12So why do we learn mathematics?
Tradutor: Antonio Filho Revisora: Marta Jorge

[2] 00:15Essentially, for three reasons:
Por que é que aprendemos matemática?

[3] 00:18calculation,
Essencialmente, por três razões:

[4] 00:19application,
cálculo,

[5] 00:21and last, and unfortunately least
aplicação,

[6] 00:24in terms of the time we give it,
e por último, e infelizmente a menor

[7] 00:26inspiration.
em termos de quanto tempo nos dedicamos a ela,

[8] 00:28Mathematics is the science of patterns,
inspiração.

[9] 00:30and we study it to learn how to think logically,
A matemática é a ciência dos padrões

[10] 00:34critically and creatively,
e nós estudamo-la para aprendermos a pensar

[11] 00:36but too much of the mathematics that we learn in school
lógica, crítica e criativamente,

[12] 00:39is not effectively motivated,
mas muito da matemática que aprendemos na escola

[13] 00:41and when our students ask,
não é efetivamente motivante,

[14] 00:43"Why are we learning this?"
e quando nossos estudantes perguntam:

[15] 00:44then they often hear that they'll need it
"Por que é que aprendemos isto?"

[16] 00:46in an upcoming math class or on a future test.
frequentemente eles ouvem que precisarão disto

[17] 00:50But wouldn't it be great
na próxima aula de matemática ou num teste futuro.

[18] 00:51if every once in a while we did mathematics
Mas não seria ótimo

[19] 00:54simply because it was fun or beautiful
que, de vez enquanto, praticássemos a matemática

[20] 00:57or because it excited the mind?
simplesmente por ser divertida ou bela

[21] 00:59Now, I know many people have not
ou por excitar a nossa mente?

[22] 01:01had the opportunity to see how this can happen,
Agora, eu sei que muitas pessoas não

[23] 01:03so let me give you a quick example
tiveram a oportunidade de ver como é que isso pode acontecer

[24] 01:05with my favorite collection of numbers,
então deixem-me dar-vos um exemplo rápido

[25] 01:07the Fibonacci numbers. (Applause)
usando a minha coleção preferida de números,

[26] 01:10Yeah! I already have Fibonacci fans here.
a sequência Fibonacci. (Aplausos)

[27] 01:12That's great.
Sim! Eu já aqui tenho fãs de Fibonacci.

[28] 01:13Now these numbers can be appreciated
Isso é ótimo.

[29] 01:15in many different ways.
Estes números podem ser apreciados

[30] 01:17From the standpoint of calculation,
de várias maneiras.

[31] 01:20they're as easy to understand
Pela ótica do cálculo,

[32] 01:22as one plus one, which is two.
eles são tão fáceis de entender

[33] 01:24Then one plus two is three,
como 1 + 1, que é igual a 2.

[34] 01:26two plus three is five, three plus five is eight,
Logo, 1 + 2 é igual a 3,

[35] 01:29and so on.
2 + 3 é igual a 5, 3 + 5 são 8,

[36] 01:31Indeed, the person we call Fibonacci
e por aí adiante.

[37] 01:33was actually named Leonardo of Pisa,
De facto, a pessoa a quem chamamos de Fibonacci

[38] 01:36and these numbers appear in his book "Liber Abaci,"
chamava-se, na verdade, Leonardo de Pisa

[39] 01:39which taught the Western world
e estes números aparecem no seu livro "Liber Abaci"

[40] 01:41the methods of arithmetic that we use today.
que ensinou ao mundo ocidental

[41] 01:44In terms of applications,
os métodos aritméticos que usamos hoje em dia.

[42] 01:45Fibonacci numbers appear in nature
Em termos de aplicações,

[43] 01:48surprisingly often.
a sequência Fibonacci aparece na Natureza

[44] 01:49The number of petals on a flower
com uma surpreendente frequência.

[45] 01:51is typically a Fibonacci number,
O número de pétalas de uma rosa

[46] 01:53or the number of spirals on a sunflower
é uma típica sequência Fibonacci,

[47] 01:56or a pineapple
ou o número de espirais num girassol

[48] 01:57tends to be a Fibonacci number as well.
ou num ananás

[49] 02:00In fact, there are many more applications of Fibonacci numbers,
tendem também a ser uma sequência Fibonacci.

[50] 02:03but what I find most inspirational about them
Na verdade, existem muitas outras aplicações para a sequência Fibonacci,

[51] 02:06are the beautiful number patterns they display.
mas o que eu acho mais inspirador nelas

[52] 02:08Let me show you one of my favorites.
é o belo padrão numérico que ela apresentam.

[53] 02:11Suppose you like to square numbers,
Vou mostrar-vos um dos meus preferidos.

[54] 02:13and frankly, who doesn't? (Laughter)
Suponhamos que gostam de elevar números ao quadrado,

[55] 02:16Let's look at the squares
e francamente, quem não gosta? (Risos)

[56] 02:18of the first few Fibonacci numbers.
Vamos olhar para os quadrados

[57] 02:20So one squared is one,
dos primeiros números da sequência Fibonacci.

[58] 02:22two squared is four, three squared is nine,
Logo, 1² é 1,

[59] 02:24five squared is 25, and so on.
2² são 4, 3² são 9

[60] 02:27Now, it's no surprise
5² são 25, e por aí adiante.

[61] 02:29that when you add consecutive Fibonacci numbers,
Bem, não é surpresa

[62] 02:32you get the next Fibonacci number. Right?
que quando somamos números consecutivos da sequência Fibonacci

[63] 02:34That's how they're created.
obtemos o número seguinte da sequência. Certo?

[64] 02:35But you wouldn't expect anything special
Foi assim que eles foram criados.

[65] 02:37to happen when you add the squares together.
Mas vocês não esperam que aconteça

[66] 02:40But check this out.
nada de especial quando somam os seus quadrados.

[67] 02:42One plus one gives us two,
Mas vejam isto.

[68] 02:44and one plus four gives us five.
1 + 1 é igual a 2,

[69] 02:46And four plus nine is 13,
e 1 + 4 dá-nos 5.

[70] 02:48nine plus 25 is 34,
E 4 + 9 são 13,

[71] 02:52and yes, the pattern continues.
9 + 25 são 34,

[72] 02:54In fact, here's another one.
e sim, o padrão continua.

[73] 02:56Suppose you wanted to look at
Na verdade, aqui está outro.

[74] 02:58adding the squares of the first few Fibonacci numbers.
Suponham que queriam olhar para

[75] 03:00Let's see what we get there.
a adição dos quadrados dos primeiros números da sequência Fibonacci.

[76] 03:02So one plus one plus four is six.
Vejamos o que acontece.

[77] 03:04Add nine to that, we get 15.
Logo, 1 + 1 + 4 são 6.

[78] 03:07Add 25, we get 40.
Somem 9 a esse resultado e teremos 15.

[79] 03:09Add 64, we get 104.
Somem 25 e teremos 40.

[80] 03:12Now look at those numbers.
Somem 64 e teremos 104.

[81] 03:14Those are not Fibonacci numbers,
Agora olhem para estes números.

[82] 03:16but if you look at them closely,
Estes não são números de Fibonacci,

[83] 03:18you'll see the Fibonacci numbers
mas se vocês olharem para eles mais atentamente,

[84] 03:20buried inside of them.
verão a sequência Fibonacci

[85] 03:22Do you see it? I'll show it to you.
enterrada dentro deles

[86] 03:24Six is two times three, 15 is three times five,
Conseguem ver? Vou mostrar-vos.

[87] 03:2840 is five times eight,
6 é 2 x 3, 15 é 3 x 5,

[88] 03:30two, three, five, eight, who do we appreciate?
40 é 5 x 8,

[89] 03:33(Laughter)
2, 3, 5, 8, de que é que estamos a falar?

[90] 03:34Fibonacci! Of course.
(Risos)

[91] 03:36Now, as much fun as it is to discover these patterns,
Fibonacci! É claro.

[92] 03:40it's even more satisfying to understand
Agora, por mais divertido que seja descobrir esses padrões,

[93] 03:42why they are true.
é ainda mais gratificante entender

[94] 03:44Let's look at that last equation.
por que é que eles são verdadeiros.

[95] 03:46Why should the squares of one, one, two, three, five and eight
Vamos olhar para a última equação.

[96] 03:50add up to eight times 13?
Por que é que os quadrados de 1, 1, 2, 3, 5, e 8

[97] 03:53I'll show you by drawing a simple picture.
somados, resultam em 8 x 13?

[98] 03:56We'll start with a one-by-one square
Vou mostrar-vos através de um simples desenho.

[99] 03:58and next to that put another one-by-one square.
Começamos com um quadrado de 1 x 1

[100] 04:02Together, they form a one-by-two rectangle.
em seguida colocamos outro quadrado de 1 x 1.

[101] 04:06Beneath that, I'll put a two-by-two square,
Juntos, eles formam um retângulo de 1 x 2.

[102] 04:08and next to that, a three-by-three square,
Por baixo, vou colocar um quadrado de 2 x 2,

[103] 04:11beneath that, a five-by-five square,
e ao lado dele, um quadrado de 3 x 3,

[104] 04:13and then an eight-by-eight square,
por baixo, um quadrado de 5 x 5,

[105] 04:15creating one giant rectangle, right?
e então um quadrado de 8 x 8,

[106] 04:18Now let me ask you a simple question:
criando um retângulo gigante, certo?

[107] 04:20what is the area of the rectangle?
Agora, deixem-me fazer-vos uma pergunta simples:

[108] 04:23Well, on the one hand,
qual é a área do retângulo?

[109] 04:25it's the sum of the areas
Bem, por um lado,

[110] 04:28of the squares inside it, right?
é a soma das áreas

[111] 04:30Just as we created it.
dos quadrados dentro dele, certo?

[112] 04:31It's one squared plus one squared
Exatamente como o construímos.

[113] 04:33plus two squared plus three squared
É o quadrado de 1, mais o quadrado de 1,

[114] 04:35plus five squared plus eight squared. Right?
mais o quadrado de 2, mais o quadrado de 3,

[115] 04:38That's the area.
mais o quadrado de 5 , mais o quadrado de 8. Certo?

[116] 04:40On the other hand, because it's a rectangle,
Esta é a área.

[117] 04:42the area is equal to its height times its base,
Por outro lado, por ser um retângulo,

[118] 04:46and the height is clearly eight,
a área é igual à altura vezes a base,

[119] 04:48and the base is five plus eight,
e a altura é claramente 8,

[120] 04:51which is the next Fibonacci number, 13. Right?
e a base é 5 + 8,

[121] 04:55So the area is also eight times 13.
que é o próximo número da sequência Fibonacci, 13. Certo?

[122] 04:58Since we've correctly calculated the area
Logo a área é também, 8 x 13.

[123] 05:00two different ways,
Já que calculámos corretamente a área

[124] 05:02they have to be the same number,
de duas formas diferentes,

[125] 05:04and that's why the squares of one, one, two, three, five and eight
elas têm de ser o mesmo número,

[126] 05:08add up to eight times 13.
é o por isso que os quadrados de 1, 1, 2, 3, 5, e 8

[127] 05:10Now, if we continue this process,
somados, resultam em 8 x 13.

[128] 05:12we'll generate rectangles of the form 13 by 21,
Então, se continuarmos este processo,

[129] 05:1621 by 34, and so on.
criaremos retângulos de 13 x 21,

[130] 05:19Now check this out.
21 x 34, e por aí adiante.

[131] 05:20If you divide 13 by eight,
Agora, vejam só.

[132] 05:22you get 1.625.
Se vocês dividirem 13 por 8,

[133] 05:24And if you divide the larger number by the smaller number,
obterão 1,625.

[134] 05:28then these ratios get closer and closer
E se vocês dividirem o número maior pelo número menor,

[135] 05:31to about 1.618,
então essas proporções vão ficando cada vez mais próximas

[136] 05:33known to many people as the Golden Ratio,
de cerca de 1,618.

[137] 05:37a number which has fascinated mathematicians,
conhecidas por muitos como a Proporção Áurea,

[138] 05:39scientists and artists for centuries.
um número que tem fascinado matemáticos,

[139] 05:42Now, I show all this to you because,
cientistas e artistas durante séculos.

[140] 05:45like so much of mathematics,
Agora, eu mostrei-vos tudo isto porque,

[141] 05:47there's a beautiful side to it
como muitas coisas na matemática,

[142] 05:49that I fear does not get enough attention
há um lado belo nisso

[143] 05:51in our schools.
que eu receio que não desperte muita atenção

[144] 05:52We spend lots of time learning about calculation,
nas escolas.

[145] 05:55but let's not forget about application,
Gastamos muito tempo a aprender sobre o cálculo,

[146] 05:58including, perhaps, the most important application of all,
mas não nos esqueçamos da aplicação,

[147] 06:01learning how to think.
incluindo, talvez, a mais importante aplicação de todas,

[148] 06:03If I could summarize this in one sentence,
aprender a pensar.

[149] 06:05it would be this:
Se eu pudesse resumir tudo isto numa frase apenas,

[150] 06:07Mathematics is not just solving for x,
seria esta:

[151] 06:10it's also figuring out why.
A matemática não é apenas a solução para x,

[152] 06:13Thank you very much.
é também descobrir o porquê.

[153] 06:15(Applause)
Muito obrigado.