The magic of Fibonacci numbers
Arthur Benjamin
[1] 00:12So why do we learn mathematics?
Então, por que aprendemos matemática?
[2] 00:15Essentially, for three reasons:
Essencialmente por três razões:
[3] 00:18calculation,
cálculos,
[4] 00:19application,
aplicação,
[5] 00:21and last, and unfortunately least
e por último e infelizmente menos importante,
[6] 00:24in terms of the time we give it,
em termos do tempo que dedicamos,
[7] 00:26inspiration.
inspiração.
[8] 00:28Mathematics is the science of patterns,
Matemática é a ciência dos padrões,
[10] 00:34critically and creatively,
criticamente e criativamente,
[12] 00:39is not effectively motivated,
não é efetivamente motivado,
[13] 00:41and when our students ask,
e quando nossos alunos perguntam:
[14] 00:43"Why are we learning this?"
"Por que estamos aprendendo isto?",
[15] 00:44then they often hear that they'll need it
eles normalmente ouvem que vão precisar
[17] 00:50But wouldn't it be great
Mas não seria ótimo
[18] 00:51if every once in a while we did mathematics
se, de vez em quando, fizéssemos matemática
[19] 00:54simply because it was fun or beautiful
simplesmente porque ela é divertida e bonita,
[20] 00:57or because it excited the mind?
ou porque ela aguça a mente?
[21] 00:59Now, I know many people have not
Sei que muitas pessoas
[23] 01:03so let me give you a quick example
então deixem-me lhes dar um rápido exemplo
[24] 01:05with my favorite collection of numbers,
com meu conjunto de números favorito,
[25] 01:07the Fibonacci numbers. (Applause)
os números de Fibonacci. (Aplausos)
[27] 01:12That's great.
Isso é ótimo.
[28] 01:13Now these numbers can be appreciated
Bem, esses números podem ser apreciados
[29] 01:15in many different ways.
de vários jeitos diferentes.
[30] 01:17From the standpoint of calculation,
Do ponto de vista do cálculo,
[31] 01:20they're as easy to understand
eles são tão fáceis de entender
[32] 01:22as one plus one, which is two.
como 1 + 1, que é 2.
[33] 01:24Then one plus two is three,
E 1 + 2 que é 3,
[34] 01:26two plus three is five, three plus five is eight,
2 + 3 é 5, 3 + 5 é 8,
[35] 01:29and so on.
e assim por diante.
[36] 01:31Indeed, the person we call Fibonacci
De fato, a pessoa que chamamos de Fibonacci
[37] 01:33was actually named Leonardo of Pisa,
se chamava, na verdade, Leonardo de Pisa,
[39] 01:39which taught the Western world
que ensinou ao mundo ocidental
[40] 01:41the methods of arithmetic that we use today.
os métodos de aritmética que usamos hoje.
[41] 01:44In terms of applications,
Em termos de aplicações,
[42] 01:45Fibonacci numbers appear in nature
os números de Fibonacci aparecem na natureza
[43] 01:48surprisingly often.
com uma frequência surpreendente.
[44] 01:49The number of petals on a flower
O número de pétalas numa flor
[45] 01:51is typically a Fibonacci number,
é tipicamente um número de Fibonacci,
[46] 01:53or the number of spirals on a sunflower
ou o número de espirais em um girassol
[47] 01:56or a pineapple
ou num abacaxi
[48] 01:57tends to be a Fibonacci number as well.
tende a ser um número de Fibonacci também.
[50] 02:03but what I find most inspirational about them
mas o que eu acho o mais inspirador deles
[52] 02:08Let me show you one of my favorites.
Vou lhes mostrar um dos meus favoritos.
[54] 02:13and frankly, who doesn't? (Laughter)
e, francamente, quem não gosta? (Risos)
[55] 02:16Let's look at the squares
Vejamos os quadrados
[56] 02:18of the first few Fibonacci numbers.
dos primeiros números de Fibonacci.
[57] 02:20So one squared is one,
Então, 1² é 1,
[58] 02:22two squared is four, three squared is nine,
2² é 4, 3² é 9,
[59] 02:24five squared is 25, and so on.
5² é 25 e assim por diante.
[60] 02:27Now, it's no surprise
Agora, não é nenhuma surpresa
[62] 02:32you get the next Fibonacci number. Right?
encontramos o próximo número de Fibonacci. Certo?
[63] 02:34That's how they're created.
É assim que eles são definidos.
[64] 02:35But you wouldn't expect anything special
Mas não se esperaria que nada especial
[65] 02:37to happen when you add the squares together.
acontecesse quando somamos os quadrados.
[66] 02:40But check this out.
Mas vejam só isso.
[67] 02:42One plus one gives us two,
1 + 1 dá 2,
[68] 02:44and one plus four gives us five.
e 1 + 4 dá 5.
[69] 02:46And four plus nine is 13,
e 4 + 9 é 13,
[70] 02:48nine plus 25 is 34,
4 + 25 é 34,
[71] 02:52and yes, the pattern continues.
e sim, o padrão continua.
[72] 02:54In fact, here's another one.
Na verdade, aqui há outro.
[73] 02:56Suppose you wanted to look at
Vamos supor que vocês queiram ver
[75] 03:00Let's see what we get there.
Vamos ver o que conseguimos aqui.
[76] 03:02So one plus one plus four is six.
Então 1 + 1 + 4 é 6.
[77] 03:04Add nine to that, we get 15.
Somando com 9, dá 15.
[78] 03:07Add 25, we get 40.
Somando com 25, dá 40.
[79] 03:09Add 64, we get 104.
Somando com 64, dá 104.
[80] 03:12Now look at those numbers.
Agora olhem para estes números.
[81] 03:14Those are not Fibonacci numbers,
Eles não são números de Fibonacci,
[82] 03:16but if you look at them closely,
mas se olharem para eles atentamente,
[83] 03:18you'll see the Fibonacci numbers
Vocês verão os números de Fibonacci
[84] 03:20buried inside of them.
enterrados dentro deles.
[85] 03:22Do you see it? I'll show it to you.
Vocês veem? Vou mostrar a vocês.
[86] 03:24Six is two times three, 15 is three times five,
6 é 2 x 3, 15 é 3 x 5,
[87] 03:2840 is five times eight,
40 é 5 x 80,
[88] 03:30two, three, five, eight, who do we appreciate?
2, 3, 5, 8, quem nós apreciamos?
[90] 03:34Fibonacci! Of course.
Fibonacci! Claro.
[92] 03:40it's even more satisfying to understand
é ainda mais satisfatório entender
[93] 03:42why they are true.
por que eles acontecem.
[94] 03:44Let's look at that last equation.
Vejamos a última equação.
[96] 03:50add up to eight times 13?
somados dão 8 x 13?
[97] 03:53I'll show you by drawing a simple picture.
Vou lhes mostrar desenhando uma simples figura.
[98] 03:56We'll start with a one-by-one square
Vamos começar com um quadrado 1 por 1
[99] 03:58and next to that put another one-by-one square.
e ao lado colocamos outro quadrado 1 por 1.
[100] 04:02Together, they form a one-by-two rectangle.
Juntos, eles formam um retângulo 1 por 2.
[101] 04:06Beneath that, I'll put a two-by-two square,
Sob eles, vou colocar um quadrado 2 por 2,
[102] 04:08and next to that, a three-by-three square,
e ao lado de tudo, um quadrado 3 por 3,
[103] 04:11beneath that, a five-by-five square,
sob tudo, um quadrado, 5 por 5,
[104] 04:13and then an eight-by-eight square,
e então um quadrado 8 por 8,
[105] 04:15creating one giant rectangle, right?
criando um retângulo gigante, certo?
[106] 04:18Now let me ask you a simple question:
Agora vou fazer uma pergunta bem simples:
[107] 04:20what is the area of the rectangle?
Qual é a área do retângulo?
[108] 04:23Well, on the one hand,
Bem, por um lado,
[109] 04:25it's the sum of the areas
é a soma das áreas
[110] 04:28of the squares inside it, right?
dos quadrados internos, certos?
[111] 04:30Just as we created it.
Exatamente como o criamos.
[112] 04:31It's one squared plus one squared
É 1² + 1²
[113] 04:33plus two squared plus three squared
+ 2² + 3²
[114] 04:35plus five squared plus eight squared. Right?
+ 5² + 8². Certo?
[115] 04:38That's the area.
Essa é a área.
[116] 04:40On the other hand, because it's a rectangle,
Por outro lado, por ser um retângulo,
[117] 04:42the area is equal to its height times its base,
a área é igual a base vezes altura,
[118] 04:46and the height is clearly eight,
e a altura é claramente 8,
[119] 04:48and the base is five plus eight,
e a base é 5 + 8,
[121] 04:55So the area is also eight times 13.
Então a área também é 8 x 13.
[122] 04:58Since we've correctly calculated the area
Já que calculamos a área corretamente
[123] 05:00two different ways,
de dois jeitos diferentes,
[124] 05:02they have to be the same number,
eles têm que ser o mesmo número,
[126] 05:08add up to eight times 13.
somados dão 8 x 13.
[127] 05:10Now, if we continue this process,
Agora, se continuarmos esse processo,
[129] 05:1621 by 34, and so on.
21 por 34, e assim por diante.
[130] 05:19Now check this out.
Agora, vejam só isso.
[131] 05:20If you divide 13 by eight,
Se dividirmos 13 por 8,
[132] 05:22you get 1.625.
temos 1,625.
[134] 05:28then these ratios get closer and closer
então essas razões se aproximam cada vez mais
[135] 05:31to about 1.618,
de cerca de 1,618,
[136] 05:33known to many people as the Golden Ratio,
conhecido por muitas pessoas como a Razão Áurea,
[137] 05:37a number which has fascinated mathematicians,
um número que tem fascinado os matemáticos,
[138] 05:39scientists and artists for centuries.
cientistas e artistas por séculos.
[139] 05:42Now, I show all this to you because,
Agora, eu mostro isso tudo a vocês porque,
[140] 05:45like so much of mathematics,
assim como em muito da matemática,
[141] 05:47there's a beautiful side to it
há um lado belo disso
[142] 05:49that I fear does not get enough attention
que eu receio não receba atenção suficiente
[143] 05:51in our schools.
em nossas escolas.
[145] 05:55but let's not forget about application,
mas não podemos esquecer da aplicação,
[147] 06:01learning how to think.
aprender a pensar.
[148] 06:03If I could summarize this in one sentence,
Se eu pudesse resumir isso em uma sentença,
[149] 06:05it would be this:
seria essa:
[150] 06:07Mathematics is not just solving for x,
Matemática não é só encontrar o x,
[151] 06:10it's also figuring out why.
também é entender o por quê.
[152] 06:13Thank you very much.
Muito obrigado.
[153] 06:15(Applause)
(Aplausos)